Quadratwurzel/2/Nicht rational/Beispiel

Wir betrachten ein Quadrat mit Seitenlänge ${}1$. Die Diagonale darin kann man als Hypotenuse des in dem Quadrat zweifach liegenden rechtwinkligen Dreiecks auffassen. Nach dem Satz des Pythagoras hat die Länge der Diagonalen die Eigenschaft, dass ihr Quadrat davon gleich

${}1^{2}+1^{2}=2\,$

ist. Inwiefern gibt es eine Zahl ${}x$ mit ${}x^{2}=2$? Dies ist keine einfache Frage. Was man ziemlich schnell begründen kann, ist, dass es innerhalb der rationalen Zahlen eine solche Zahl nicht geben kann! Wenn wir nämlich annehmen, dass die rationale Zahl

${}x={\frac {a}{b}}\,$

die Eigenschaft

${}x^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\,$

besitzt, so kann man zunächst annehmen, dass die Darstellung gekürzt ist, also ${}a$ und ${}b$ keinen gemeinsamen Teiler ${}\geq 2$ haben. Durch Multiplikation mit ${}b^{2}$ erhält man innerhalb der natürlichen Zahlen die Gleichung

${}a^{2}=2b^{2}\,.$

Nennen wir diese Zahl ${}z$. Aufgrund der rechten Seite sieht man, dass diese Zahl gerade ist. Dann muss auch ${}a$ gerade sein, da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist. Wir können also

${}a=2d\,$

schreiben und aus der Gleichung

${}(2d)^{2}=2b^{2}\,$

einmal die ${}2$ kürzen, was

${}2d^{2}=b^{2}\,$

ergibt. Mit dem Argument von eben erhält man, dass auch ${}b$ gerade ist, im Widerspruch zur gekürzten Darstellung.