Quadratwurzel/Höhere Ableitungen/Taylorpolynom/1/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {x}}}\,.$

2. Es ist

   ${}f^{\prime \prime }(x)=-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}=-{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {x}}^{3}}}\,.$

3. Wir behaupten

   ${}f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}}}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {x}}^{2n-1}}}=(-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}}}\cdot x^{\frac {1-2n}{2}}\,.$

   Dies beweisen wir durch Induktion nach ${}n$. Der Induktionsanfang ist durch Aufgabenteil (1) gesichert (das leere Produkt ist ${}1$). Der Induktionsschluss ergibt sich durch

   ${}{\begin{aligned}f^{(n+1)}(x)&={\left(f^{(n)}(x)\right)}'\\&={\left((-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}}}\cdot x^{\frac {1-2n}{2}}\right)}'\\&=(-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}}}\cdot {\frac {1-2n}{2}}\cdot x^{\frac {1-2n-2}{2}}\\&=(-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}}}\cdot (-1){\frac {2n-1}{2}}\cdot x^{\frac {1-2(n+1)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {\prod _{k=1}^{n-1}(2k+1)}{2^{n+1}}}x^{\frac {1-2(n+1)}{2}}.\end{aligned}}$

4. Das Taylorpolynom vom Grad ${}4$ mit Entwicklungspunkt ${}1$ ist

   ${}1+{\frac {1}{2}}(x-1)-{\frac {1}{2\cdot 2}}(x-1)^{2}+{\frac {3}{8\cdot 6}}(x-1)^{3}-{\frac {15}{16\cdot 24}}(x-1)^{4}=1+{\frac {1}{2}}(x-1)-{\frac {1}{4}}(x-1)^{2}+{\frac {1}{16}}(x-1)^{3}-{\frac {5}{128}}(x-1)^{4}\,.$

5. Aus der Formel für die Ableitungen folgt, dass der ${}n$-te Koeffizient der Taylorreihe für ${}n\geq 1$ gleich

   ${}a_{n}=(-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}n!}}\,$

   ist, also ist die Taylorreihe gleich

   $1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}n!}}(x-1)^{n}.$

Zur gelösten Aufgabe