Quadratwurzel/Nicht in Q/Gleichungsaspekt/Zahlenbereichserweiterungen/Bemerkung

Die Beobachtung, dass eine Gleichung der Form

${}x^{2}=c\,$

mit ${}c\in \mathbb {Q}$ innerhalb der rationalen Zahlen im Allgemeinen keine Lösung besitzt, und dass man daher nach einer Erweiterung der Zahlen suchen sollte, in dem es eine Lösung gibt, sollte man in Analogie zu den Gleichungen sehen, die vorhergehende Zahlenbereichserweiterungen motiviert haben. Die Gleichungen der Form

${}a=b+x\,,$

die innerhalb der natürlichen Zahlen formulierbar, aber nicht lösbar sind, führten zur Zahlenbereichserweiterung von ${}\mathbb {N}$ nach ${}\mathbb {Z}$, und die Gleichungen der Form

${}a=bx\,,$

die innerhalb der ganzen Zahlen formulierbar, aber nicht lösbar sind, führten zur Zahlenbereichserweiterung von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}\mathbb {Q}$.