Quadratwurzel aus n/Sinnvolle Strecke/Theodorus/Bemerkung

Die Quadratwurzel aus ${}2$ tritt als Länge der Diagonalen in einem Quadrat mit Seitenlänge ${}1$ auf und ist von daher sicher eine sinnvolle Streckenlänge. Wie sieht es mit den anderen Quadratwurzeln zu natürlichen Zahlen ${}n$ aus? Wenn man die Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge ${}n$ betrachtet, so besitzt die Diagonale die Seitenlänge ${}{\sqrt {2}}n$. Diese Zahl entsteht also durch eine einfache arithmetische Operation aus den bekannten natürlichen Zahlen und der ${}{\sqrt {2}}$. Wenn man Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen betrachtet, so erhält man als Diagonallängen beispielsweise ${}{\sqrt {5}}$ (Seitenlängen ${}1$ und ${}2$), ${}{\sqrt {10}}$ (Seitenlängen ${}1$ und ${}3$), ${}{\sqrt {13}}$ (Seitenlängen ${}2$ und ${}3$), u.s.w. Man kann aber durch eine einfach geometrische Konstruktion induktiv zeigen, dass jede Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl als Strecke auftritt. Dazu startet man mit der Strecke ${}{\sqrt {2}}$ und macht daraus die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete die Seitenlänge ${}1$ besitzt. Die Hypotenuse dieses Dreiecks hat dann die Länge

${}{\sqrt {{\sqrt {2}}^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2+1}}={\sqrt {3}}\,.$

So kann man aus jedem ${}{\sqrt {n}}$ auch die Länge ${}{\sqrt {n+1}}$ erhalten. Diese Prozedur wird in der Spirale von Theodorus veranschaulicht.