Quadratwurzelfunktion/Einheitsintervall/Approximation durch Polynome/Aufgabe/Lösung

Wir fixieren ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}1$ und setzen

${}t_{n}:=P_{n}(t)\,,$

die Rekursionsvorschrift lautet somit ${}t_{n+1}=t_{n}+{\frac {1}{2}}{\left(t-t_{n}^{2}\right)}$. Es ist

${}{\begin{aligned}{\sqrt {t}}-t_{n+1}&={\sqrt {t}}-{\left(t_{n}+{\frac {1}{2}}{\left(t-t_{n}^{2}\right)}\right)}\\&={\sqrt {t}}-t_{n}-{\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {t}}-t_{n}\right)}{\left({\sqrt {t}}+t_{n}\right)}\\&={\left({\sqrt {t}}-t_{n}\right)}{\left(1-{\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {t}}+t_{n}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

Daraus folgt durch Induktion

${}0\leq {\sqrt {t}}-t_{n}\leq 1\,$

für alle ${}n$. Dies ergibt wiederum

${}t_{n+1}-t_{n}={\frac {1}{2}}{\left(t-t_{n}^{2}\right)}\geq 0\,,$

die Folge ist also monoton wachsend und konvergiert wegen ihrer Beschränktheit. Sei ${}s$ der Limes. Der Limesprozess angewendet auf die Rekursionsgleichung ergibt

${}s=s+{\frac {1}{2}}{\left(t-s^{2}\right)}\,$

und daher

${}s^{2}=t\,.$

Zur gelösten Aufgabe