Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir können durch eine Variablentransformation erreichen, dass ${}\alpha \neq 0$, und dann können wir durch ${}\alpha$ teilen, und annehmen, dass ${}\alpha =1$ ist. Wir können durch Verschieben annehmen, dass der Nullpunkt ${}0=(0,0)$ auf der Kurve liegt. Dann ist ${}\eta =0$. Wenn zwei sich kreuzende Geraden vorliegen, so können wir durch Verschieben annehmen, dass der Nullpunkt nicht der Kreuzungspunkt ist (aber auf einer der Geraden liegt).

Die Idee ist, zu einem Punkt ${}H=(t,1)$ die Gerade durch ${}0$ und ${}H$ zu betrachten und den Schnitt dieser Geraden mit ${}C$ zu betrachten. Dieser Schnitt besteht aus maximal zwei Punkten (es sei denn, der Schnitt ist die volle Gerade), und da ${}0$ einer der Punkte ist, ist der andere Punkt, den es geben muss, eindeutig bestimmt.

Es sei also ${}H=(t,1)$ gegeben. Die Gerade durch ${}H$ und durch ${}0$ besteht aus allen Punkten ${}(at,a),\,a\in K$. Die Schnittpunkte mit ${}C$ erhält man also, wenn man ${}(x,y)=(at,a)$ in ${}F$ einsetzt und nach den Lösungen in ${}a$ sucht. Einsetzen ergibt die Bedingung

${}F(at,a)=(at)^{2}+\beta (ata)+\gamma a^{2}+\delta at+\epsilon a\,.$

Die Lösung ${}a=0$ entspricht dem Nullpunkt, die wir schon kennen, die zweite Lösung ist

${}a_{2}={\frac {-\delta t-\epsilon }{t^{2}+\beta t+\gamma }}\,.$

Dieser Ausdruck ist wohldefiniert, wenn ${}Q(t)=t^{2}+\beta t+\gamma \neq 0$ ist (was maximal zwei Werte für ${}t$ ausschließt).

Zu ${}a_{2}$ gehört auf ${}C$ der Punkt

${}a_{2}(t,1)=(a_{2}t,a_{2})=\left(t{\frac {-\delta t-\epsilon }{t^{2}+\beta t+\gamma }},\,{\frac {-\delta t-\epsilon }{t^{2}+\beta t+\gamma }}\right)\,,$

so dass

$P_{1}=-t(\delta t+\epsilon ){\text{ und }}P_{2}=-\delta t-\epsilon$

zu setzen ist.

Zur gelösten Aufgabe