Quantorenlogik/Freund/Aufgabe

Es bedeute ${}F(x,y)$, dass ${}x$ ein Freund von ${}y$ ist. Wir betrachten den Satz „Alle Freunde von Paula (${}P$) sind auch Freunde von Susanna (${}S$).“ Beantworte für jede der folgenden Formalisierungen, was sie umgangssprachlich bedeuten, ob sie wahr sind (hier gibt es einen gewissen Interpretationsspielraum) und ob sie den angegebenen Sachverhalt ausdrücken (die Quantoren beziehen sich dabei auf die Menge der Menschen).

1. $\forall x\exists yF(x,y),$

2. $\forall xF(P,x)\rightarrow \forall xF(S,x),$

3. $\forall x\forall y{\left(F(x,y)\rightarrow F(y,x)\right)},$

4. $\forall x\forall y{\left(F(x,y)\rightarrow F(x,y)\right)},$

5. $\exists x\forall yF(x,y),$

6. $\forall x{\left(F(P,x)\rightarrow F(x,S)\right)},$

7. $\forall x{\left(\forall y{\left(F(x,y)\rightarrow \forall zF(x,z)\right)}\right)},$

8. $\forall xF(x,P)\rightarrow \forall xF(x,S),$

9. $\forall x{\left(F(x,P)\rightarrow F(x,S)\right)},$

10. $\forall x{\left(\forall yF(x,y)\rightarrow F(x,x)\right)},$

11. $\forall xF(x,x),$

12. $\exists x\forall y{\left(\neg F(x,y)\right)}.$

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