Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Varietät/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert. Aus Fakt folgt, dass die Aussage für ${}S=K[T]$ richtig ist. Daraus ergibt sich, dass die Aussage für jeden Polynomring ${}K[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ richtig ist, da ein Morphismus nach ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ durch seine Komponenten und ein ${}K$-Algebrahomomorphismus durch die Einsetzungen für ${}T_{i}$ gegeben ist. Es sei nun ${}S=K[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und

${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\cong V({\mathfrak {a}})=V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$

Zu einem Morphismus ${}U\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$ ist die Verknüpfung mit der abgeschlossenen Einbettung in den affinen Raum ebenfalls ein Morphismus. D.h. es liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\operatorname {Mor} \,(U,K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(S,\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)}&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Mor} \,(U,{{\mathbb {A} }_{K}^{n}})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(K[T_{1},\ldots ,T_{n}],\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

vor, wobei die untere Abbildung bereits als Bijektion nachgewiesen wurde. Die vertikalen Abbildungen sind injektiv. Wir müssen daher zeigen, dass die untere Abbildung die oberen Teilmengen ineinander überführt.

Ein Morphismus ${}U\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, der (als Abbildung) durch ${}V$ faktorisiert, ist auch ein Morphismus nach ${}V$. Die Morphismuseigenschaft ist nur für offene Mengen der Form ${}D(H)$ zu überprüfen, ${}H\in S$. Es sei ${}{\tilde {H}}\in K[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ ein Repräsentant für ${}H$. Dann ist ${}K[T_{1},\ldots ,T_{n}]_{\tilde {H}}\rightarrow S_{H}$ surjektiv und damit wird jedes Element aus ${}S_{H}$ auf eine algebraische Funktion abgebildet.

Auf der rechten Seite des Diagramms gehört eine Algebrahomomorphismus genau dann zur oberen Menge, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ zum Kern gehört. Damit folgt die Aussage aus Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage