Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Varietät/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert. Aus Fakt folgt, dass die Aussage für richtig ist. Daraus ergibt sich, dass die Aussage für jeden Polynomring richtig ist, da ein Morphismus nach durch seine Komponenten und ein -Algebrahomomorphismus durch die Einsetzungen für gegeben ist. Sei nun und

Zu einem Morphismus ist die Verknüpfung mit der abgeschlossenen Einbettung in den affinen Raum ebenfalls ein Morphismus. D.h. es liegt ein kommutatives Diagramm

vor, wobei die untere Abbildung bereits als Bijektion nachgewiesen wurde. Die vertikalen Abbildungen sind injektiv. Wir müssen daher zeigen, dass die untere Abbildung die oberen Teilmengen ineinander überführt.

Ein Morphismus , der (als Abbildung) durch faktorisiert, ist auch ein Morphismus nach . Die Morphismuseigenschaft ist nur für offene Mengen der Form zu überprüfen, . Sei ein Repräsentant für . Dann ist surjektiv und damit wird jedes Element aus auf eine algebraische Funktion abgebildet.

Auf der rechten Seite des Diagramms gehört eine Algebrahomomorphismus genau dann zur oberen Menge, wenn zum Kern gehört. Damit folgt die Aussage aus Aufgabe.