R+ nach R+/Invertierung links und rechts/Fortsetzung/Aufgabe/Lösung

Da ${}g$ stets positiv ist und da

${}{\frac {1}{x}}<1\,$

für ${}x>1$ gilt, ist die Funktion ${}f$ wohldefiniert und ihr Bild liegt in ${}\mathbb {R} _{+}$.

Der zweite Ausdruck für ${}f$ ist stetig und er ergibt für ${}x=1$ ebenfalls den Wert ${}1$, daher passen die beiden Teilausdrücke zusammen und ergeben eine stetige Funktion. Die Bedingung bedeutet

${}f(x)\cdot f{\left({\frac {1}{x}}\right)}=1\,,$

wegen der Symmetrie können wir ${}x\leq 1$ annehmen, wobei die Gleichheit für ${}x=1$ direkt gilt. Dann ist

${}f(x)\cdot f{\left({\frac {1}{x}}\right)}=g(x)\cdot f{\left({\frac {1}{x}}\right)}=g(x)\cdot {\frac {1}{g{\left({\frac {1}{\,{\frac {1}{x}}\,}}\right)}}}=g(x)\cdot {\frac {1}{g{\left(x\right)}}}=1\,.$

Zur gelösten Aufgabe