Es sei
der
Kern
der
linearen Abbildung
-
Als Unterraum des
trägt
ein Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von
bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren
-
Es ist
und somit ist
-
![{\displaystyle {}u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b21d832bbc66e5fb4217bc93cd58f25e48452e)
der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem
Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren
setzen wir
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}w_{2}&=v_{2}-\left\langle v_{2},u_{1}\right\rangle u_{1}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\frac {6}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{\frac {6}{5}}\\0\\{\frac {12}{5}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8a3b4f473cffcb45e33b3d9e5493a03462ce0f)
Es ist
-
![{\displaystyle {}\Vert {w_{2}}\Vert =\Vert {\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {{\frac {36}{25}}+1+{\frac {9}{25}}}}={\sqrt {\frac {70}{25}}}={\frac {\sqrt {14}}{\sqrt {5}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c037f4314dfd570183417560c8044cc1e3b0ec4)
und daher ist
-
![{\displaystyle {}u_{2}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{\sqrt {70}}}\\{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}\\{\frac {3}{\sqrt {70}}}\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5155efba143f217713597181eed1a297c870233b)
der zweite Vektor der Orthonormalbasis.