R^3/Schrägbild/Lineare Abbildung/Beispiel

In vielen Situationen soll ein Objekt (beispielsweise ein Würfel) im Raum ${}\mathbb {R} ^{3}$ in einer Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ dargestellt werden. Eine Möglichkeit ergibt sich mit Hilfe einer Parallelprojektion. Dabei handelt es sich um eine lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

die bezüglich der Standardbasen ${}e_{1},e_{2},e_{3}$ bzw. ${}f_{1},f_{2}$ durch

$e_{1}\longmapsto f_{1},\,e_{2}\longmapsto af_{1}+bf_{2},\,e_{3}\longmapsto f_{2}$

gegeben ist, wobei die Koeffizienten ${}a,b$ (die „Tiefenschrägen“) typischerweise im Bereich ${}[{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}]$ gewählt werden. Die Linearität wirkt sich dahingehend aus, dass parallele Geraden in parallele Geraden überführt werden (oder Punkte werden). Der Punkt ${}(x,y,z)$ wird dabei auf ${}(x+ay,by+z)$ abgebildet. Das Bild des Objektes unter einer solchen linearen Abbildung nennt man ein Schrägbild.