R^n/n-1-Form/Ableitung/Infinitesimale Bälle/Aufgabe/Lösung

Wir wenden den Satz von Stokes auf die Kugeln ${}B^{n}(P,\epsilon )$ mit dem Rand ${}S^{n-1}(P,\epsilon )$ (mit Mittelpunkt ${}P$ und Radius ${}\epsilon$) an und erhalten

${}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{S^{n-1}(P,\epsilon )}\omega &=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{\partial B^{n}(P,\epsilon )}\omega \\&=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{B^{n}(P,\epsilon )}d\omega \\&=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{B^{n}(P,\epsilon )}fd\lambda ^{n}\\&=\beta _{n}\cdot f(P),\end{aligned}}$

wobei wir für das letzte Gleichheitszeichen die Stetigkeit von ${}f$ benutzt haben.

Zur gelösten Aufgabe