Räume/Produkt/Funktionen/Bemerkung

Es seien ${}V$ und ${}W$ geometrische Objekte (topologische Räume, Mannigfaltigkeiten, Varietäten, beringte Räume), wobei klar sein soll, was die darauf adäquaten definierten Funktionen sein sollen. Jedenfalls soll eine Funktion von der Form ${}f\colon V\rightarrow K$ in einen festgelegten Körper ${}K$ sein, wodurch eine Ringstruktur auf der Menge der Funktionen gestiftet wird. Über die Projektionen

$p_{V}\colon V\times W\longrightarrow V$

und

$p_{W}\colon V\times W\longrightarrow W$

definiert eine Funktion auf ${}V$ (bzw. auf ${}W$) direkt eine Funktion auf ${}V\times W$, indem man einfach die Hintereinanderschaltung

$V\times W{\stackrel {p_{V}}{\longrightarrow }}V{\stackrel {f}{\longrightarrow }}K$

betrachtet. Zu einer Funktion ${}f$ auf ${}V$ und einer Funktion ${}g$ auf ${}W$ kann man auf ${}V\times W$ die Funktion

$V\times W{\stackrel {f\times g}{\longrightarrow }}K\times K{\stackrel {\cdot }{\longrightarrow }}K$

betrachten, wobei ${}\cdot$ die Multiplikation auf dem Körper bezeichnet. Diese Abbildung bezeichnen wir (aus gutem Grund) mit ${}f\otimes g$. Es ist also

${}{\left(f\otimes g\right)}(x,y)=f(x)\cdot g(y)\,.$

Dabei stimmt ${}f\otimes 1$ mit der über die Projektion nach ${}V$ gewonnene Funktion ${}f\circ p_{V}$ überein. Ferner gilt im Ring der Funktionen auf der Produktmenge die Beziehung

${}f\otimes g={\left(f\otimes 1\right)}\cdot {\left(1\otimes g\right)}\,.$

Keineswegs sind alle Funktionen auf ${}V\times W$ von diesem Produkttyp, beispielsweise kann man ${}{\left(f\otimes 1\right)}+{\left(1\otimes g\right)}$ im Allgemeinen nicht auf diese Gestalt bringen.