R/Drehungsmatrizen/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei

${}{\mathcal {D}}={\left\{D(\alpha )\mid \alpha \in \mathbb {R} \right\}}\,$

die Menge aller Drehmatrizen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung.

1. Zeige, dass ${}({\mathcal {D}},\circ ,E_{2})$ eine Gruppe ist.
2. Zeige, dass die Abbildung

   $\mathbb {R} \longrightarrow {\mathcal {D}},\,\alpha \longmapsto D(\alpha ),$

   ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.

3. Zeige, dass ${}2\pi \mathbb {Z}$ der Kern der Abbildung ${}\alpha \mapsto D(\alpha )$ ist.
4. Zeige die Gruppenisomorphie

   ${}\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \cong {\mathcal {D}}\,.$

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