R/Elementare Äquivalenz/Einelementig/Nicht trennbar/Aufgabe/Lösung
- Es seien verschiedene reelle Zahlen. Für müssen zeigen, dass es einen -Ausdruck in einer freien Variablen gibt, der gilt, wenn man durch interpretiert, aber nicht, wenn man ihn durch interpretiert. Ohne Einschränkung sei
.
Wegen der Dichtheit der rationalen Zahlen in gibt es eine rationale Zahl mit
Sei . Dann bedeuten diese Ungleichungen und . Somit ist der Ausdruck , der durch
mit Summanden links und Summanden rechts realisiert wird, ein Ausdruck, der bei Interpretation von durch gilt, bei Interpretation durch aber nicht.
- Da das Symbolalphabet abzählbar ist, gibt es überhaupt nur abzählbar viele Ausdrücke in der Sprache . Da die reellen Zahlen überabzählbar sind, kann es also aus Anzahlgründen gar nicht für jede reelle Zahl einen charakterisierenden Ausdruck geben.