R und Metrischer Raum/Zusammenhängend/Durchschnittseigenschaften/Aufgabe

Zeige, dass in ${}\mathbb {R}$ der nichtleere Durchschnitt von zusammenhängenden Teilmengen wieder zusammenhängend ist. Muss dies auch für den nichtleeren Durchschnitt von zusammenhängenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$ gelten?