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Rationale Funktion/X^2+6X+1 durch 4X+4/Taylorentwicklung/1/Aufgabe/Lösung
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Rationale Funktion/X^2+6X+1 durch 4X+4/Taylorentwicklung/1/Aufgabe
Nach der Quotientenregel ist
f
′
(
x
)
=
(
2
x
+
6
)
(
4
x
+
4
)
−
4
(
x
2
+
6
x
+
1
)
(
4
x
+
4
)
2
=
4
x
2
+
8
x
+
20
16
(
x
2
+
2
x
+
1
)
=
x
2
+
2
x
+
5
4
(
x
2
+
2
x
+
1
)
{\displaystyle {}f'(x)={\frac {(2x+6)(4x+4)-4(x^{2}+6x+1)}{(4x+4)^{2}}}={\frac {4x^{2}+8x+20}{16(x^{2}+2x+1)}}={\frac {x^{2}+2x+5}{4(x^{2}+2x+1)}}\,}
und
f
′
′
(
x
)
=
4
(
2
x
+
2
)
(
x
2
+
2
x
+
1
)
−
4
(
x
2
+
2
x
+
5
)
(
2
x
+
2
)
16
(
x
2
+
2
x
+
1
)
2
=
(
2
x
+
2
)
(
(
x
2
+
2
x
+
1
)
−
(
x
2
+
2
x
+
5
)
)
4
(
x
2
+
2
x
+
1
)
2
=
−
2
x
+
2
(
x
2
+
2
x
+
1
)
2
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&={\frac {4(2x+2)(x^{2}+2x+1)-4(x^{2}+2x+5)(2x+2)}{16(x^{2}+2x+1)^{2}}}\\&={\frac {(2x+2){\left((x^{2}+2x+1)-(x^{2}+2x+5)\right)}}{4(x^{2}+2x+1)^{2}}}\\&=-{\frac {2x+2}{(x^{2}+2x+1)^{2}}}.\end{aligned}}}
Es ist
f
(
1
)
=
1
,
{\displaystyle {}f(1)=1\,,}
f
′
(
1
)
=
1
2
{\displaystyle {}f'(1)={\frac {1}{2}}\,}
und
f
′
′
(
1
)
=
−
4
16
=
−
1
4
.
{\displaystyle {}f^{\prime \prime }(1)={\frac {-4}{16}}=-{\frac {1}{4}}\,.}
Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich
1
+
1
2
(
x
−
1
)
−
1
8
(
x
−
1
)
2
.
{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}(x-1)-{\frac {1}{8}}(x-1)^{2}.}
Zur gelösten Aufgabe
