Die nach den Polynomfunktionen einfachsten Funktionen sind die rationalen Funktionen.
Es sei
K
{\displaystyle {}K}
ein
Körper .
Zu
Polynomen
P
,
Q
∈
K
[
X
]
{\displaystyle {}P,Q\in K[X]}
,
Q
≠
0
{\displaystyle {}Q\neq 0}
,
heißt die
Funktion
D
⟶
K
,
x
⟼
P
(
x
)
Q
(
x
)
,
{\displaystyle D\longrightarrow K,\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},}
wobei
D
⊆
K
{\displaystyle {}D\subseteq K}
das
Komplement
der
Nullstellen
von
Q
{\displaystyle {}Q}
ist, eine rationale Funktion .
Für uns ist der Fall
K
=
K
=
R
{\displaystyle {}K={\mathbb {K} }=\mathbb {R} }
oder
=
C
{\displaystyle {}={\mathbb {C} }}
wichtig.
Man kann Brüche
P
/
Q
{\displaystyle {}P/Q}
von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graph der rationalen Funktion
1
/
X
{\displaystyle {}1/X}
.
Der Polynomring
K
[
X
]
{\displaystyle {}K[X]}
ist ein kommutativer Ring, aber kein Körper. Man kann aber mit Hilfe der rationalen Funktionen einen Körper konstruieren, der den Polynomring enthält, ähnlich wie man aus
Z
{\displaystyle {}\mathbb {Z} }
die rationalen Zahlen
Q
{\displaystyle {}\mathbb {Q} }
konstruieren kann. Dazu definiert man
K
(
X
)
:=
{
P
Q
∣
P
,
Q
∈
K
[
X
]
,
Q
≠
0
}
{\displaystyle {}K(X):={\left\{{\frac {P}{Q}}\mid P,Q\in K[X],\,Q\neq 0\right\}}}
,
wobei man wieder zwei Brüche
P
Q
{\displaystyle {}{\frac {P}{Q}}}
und
P
′
Q
′
{\displaystyle {}{\frac {P'}{Q'}}}
miteinander identifiziert, wenn
P
Q
′
=
P
′
Q
{\displaystyle {}PQ'=P'Q}
ist. Auf diese Weise entsteht der Körper der rationalen Funktionen
(über
K
{\displaystyle {}K}
).