Rationale Parametrisierung/Hyperbel/Keine polynomiale Parametrisierung/Beispiel

Wir betrachten die Hyperbel ${}H=V(XY-1)$ und behaupten, dass es keine polynomiale Parametrisierung davon gibt. Dies folgt einfach daraus, dass zu zwei Polynomen ${}P(t)$ und ${}Q(t)$ die Bedingung, für jedes ${}t$ auf ${}H$ zu liegen, gerade

$P(t)\cdot Q(t)=1{\text{ für alle }}t\in {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

bedeutet, bzw., dass ${}P(t)\cdot Q(t)=1$ im Polynomring ${}K[t]$ ist (was im Fall eines unendlichen Körpers äquivalent ist; bei einem endlichen Körper ist die zweite Identität die „richtige“ Bedingung). Das bedeutet aber, dass diese Polynome invers zueinander sind und daher Einheiten sind. Im Polynomring sind aber lediglich die Konstanten ${}\neq 0$ Einheiten. Also sind beide Polynome konstant und damit ist die dadurch definierte Abbildung konstant, und es liegt keine polynomiale Parametrisierung vor. Dagegen ist

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left(t,\,{\frac {1}{t}}\right),$

eine rationale Parametrisierung der Hyperbel.