Es sei
eine
rationale Zahl,
von der wir annehmen können, dass sie in 
liegt. Es sei
-
die nach
Fakt
zugehörige Zifferenentwicklung gemäß dem Rekursionsschema
und 
.
Es ist einerseits
und andererseits sind die 
rationale Zahlen mit 
als Nenner. D.h. muss eine der Zahlen
-
sein. Unter den 
muss es also irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir
mit
.
Da die Zahlen 
und 
nur von abhängen, ist
,
,
u.s.w, d.h., es liegt eine Periodizität vor.
Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl 
vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl 
noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form
-
besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als
-
auffassen, wobei die Einsen an der 
-ten, 
-ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten die Folge
-
deren Glieder approximierende abbrechende Ziffernentwicklungen von sind
(wobei manche übersprungen werden).
Aufgrund von
Aufgabe
ist
-
Der Limes davon
(für 
gegen unendlich)
ist, da ja 
gegen 
konvergiert, gleich
-
wobei jeweils Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.
