Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt/Beweis2

Beweis

Die Periodizität der Ziffernentwicklung zu ${}{\frac {a}{b}}$ wurde in Fakt  (3) in Verbindung mit Fakt bewiesen.
Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl ${}x$ vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl ${}\neq 0$ noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form

$0,z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}{\ldots }$

besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als

${\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}\cdot 0,00{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }001{\ldots }$

auffassen, wobei die Einsen an der ${}m$-ten, ${}2m$-ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten also die Reihe

$\sum _{i=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{10^{m}}}\right)}^{i}.$

Nach Fakt konvergiert dies gegen

${}{\frac {1}{1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m}}}-1={\frac {1}{\left({\frac {99{\cdots }99}{10^{m}}}\right)}}-1={\frac {10^{m}}{99{\cdots }99}}-1={\frac {1}{99{\cdots }99}}\,,$

wobei jeweils ${}m$ Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.

Zur bewiesenen Aussage