Rationale Zahl/Exponentieller Ausdruck/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben

${}\alpha ={\frac {r}{s}}\,$

mit

${}0<r<{\frac {s}{2}}\,.$

Es ist

${}{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{\frac {r}{s}}\cdot {\left({\frac {s-r}{s}}\right)}^{\frac {s-r}{s}}<{\frac {1}{2}}\,$

zu zeigen. Wir betrachten die ${}s$-te Potenz davon, somit ist

${}{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{r}\cdot {\left({\frac {s-r}{s}}\right)}^{s-r}<{\frac {1}{2^{s}}}\,$

zu zeigen. Das Produkt links besteht insgesamt aus ${}s$ Faktoren. Wir schreiben

${}{\frac {r}{s}}={\frac {1}{2}}-c\,$

und somit

${}{\frac {s-r}{s}}={\frac {1}{2}}+c\,$

mit einem positiven ${}c$. Damit ist

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{r}\cdot {\left({\frac {s-r}{s}}\right)}^{s-r}&={\left({\frac {1}{2}}+c\right)}^{r}\cdot {\left({\frac {1}{2}}-c\right)}^{s-r}\\&={\left({\frac {1}{2}}+c\right)}^{r}\cdot {\left({\frac {1}{2}}-c\right)}^{r}\cdot {\left({\frac {1}{2}}-c\right)}^{s-2r}\\&={\left({\left({\frac {1}{2}}+c\right)}{\left({\frac {1}{2}}-c\right)}\right)}^{r}\cdot {\left({\frac {1}{2}}-c\right)}^{s-2r}\\&={\left({\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}-c^{2}\right)}^{r}\cdot {\left({\frac {1}{2}}-c\right)}^{s-2r}\\&<{\left({\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\right)}^{r}\cdot {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{s-2r}\\&={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{s}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe