Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst, dass ${}1$ das neutrale Element zur Verknüpfung ${}*$ ist. Für eine natürliche Zahl ${}n$ ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz

${}n*1=(\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}})*1=\underbrace {1*1+\cdots +1*1} _{n{\text{ Summanden}}}=\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}}=n\,.$

Für negatives ${}m$ mit ${}m=-n$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist

${}0=0*1=(n+m)*1=n*1+m*1=n+m*1\,$

und daraus folgt

${}m*1=-n=m\,.$

Für einen Bruch ${}{\frac {m}{n}}$ mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist

${}\underbrace {{\frac {m}{n}}+\cdots +{\frac {m}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}=m\,$

und

${}m=m*1={\left(\underbrace {{\frac {m}{n}}+\cdots +{\frac {m}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}*1=\underbrace {{\frac {m}{n}}*1+\cdots +{\frac {m}{n}}*1} _{n{\text{ Summanden}}}\,.$

Damit ist

${}{\frac {m}{n}}*1={\frac {m}{n}}\,,$

da dies die einzige rationale Zahl ist, die ${}n$-fach mit sich selbst addiert ${}m$ ergibt.

Nach dem Distributivgesetz und dem bisher Bewiesenen ist für natürliche Zahlen ${}n,m$

${}n*m=(\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}})*m=\underbrace {1*m+\cdots +1*m} _{n{\text{ Summanden}}}=\underbrace {m+\cdots +m} _{n{\text{ Summanden}}}=nm\,.$

Der gleiche Trick wie oben zeigt, dass dies auch für ganze Zahlen gilt. Wegen

${}{\frac {a}{b}}=1*{\frac {a}{b}}={\left(\underbrace {{\frac {1}{n}}+\cdots +{\frac {1}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}*{\frac {a}{b}}={\left(\underbrace {{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}+\cdots +{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}\,$

muss

${}{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}={\frac {a}{bn}}\,$

sein (für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$), da dies die einzige rationale Zahl ist, die ${}n$-fach mit sich selbst addiert den Wert ${}{\frac {a}{b}}$ ergibt. Daher ist schließlich ist

${}{\frac {a}{b}}*{\frac {c}{d}}=a*{\frac {1}{b}}*c*{\frac {1}{d}}=a*c*{\frac {1}{b}}*{\frac {1}{d}}=(ac)*{\frac {1}{b}}*{\frac {1}{d}}={\frac {ac}{b}}*{\frac {1}{d}}={\frac {ac}{bd}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe