Rationale Zahlen/Addition/Wohldefiniert/Aufgabe/Lösung

Es seien

${}x={\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}\,$

und

${}y={\frac {c}{d}}={\frac {c'}{d'}}\,$

die beiden zu addierenden rationalen Zahlen. Die Gleichheit der Brüche bedeutet ${}ab'=a'b$ und ${}cd'=c'd$. Wir müssen zeigen, dass die Addition das gleiche Ergebnis liefert unabhängig davon, welche Bruchdarstellung man wählt, d.h. dass

${\frac {ad+bc}{bd}}$

und

${\frac {a'd'+b'c'}{b'd'}}$

übereinstimmen. Nach Erweitern mit ${}b'd'$ und Kürzen durch ${}bd$ ist

${}{\frac {ad+bc}{bd}}={\frac {adb'd'+bcb'd'}{bdb'd'}}={\frac {a'dbd'+bc'b'd}{bdb'd'}}={\frac {a'd'+b'c'}{b'd'}}\,,$

sodass das Ergebnis als rationale Zahl wohldefiniert ist.

Zur gelösten Aufgabe