Rationale Zahlen/Addition und Multiplikation/Motivation durch Proportionalität/Bemerkung

Die Addition von rationalen Zahlen kann man über die Proportionalitäten begründen. Es sei ein proportionaler Zusammenhang ${}\varphi$ durch

${}\varphi (r)=s\,$

und ein weiterer (gleichskaliger) proportionaler Zusammenhang durch

${}\psi (r')=s'\,$

gegeben. Beispielsweise seien (vergleiche Bemerkung) die Übernachtungskosten dadurch beschrieben, dass ${}7$ Tage (und Nächte) ${}320$ Euro kosten und die Verpflegungskosten dadurch beschrieben, dass ${}10$ Tage ${}258$ Euro kosten. Wie kann man die beiden Zusammenhänge sinnvoll addieren, also wie viel kostet Übernachtung und Verpflegung zusammen in einem bestimmten Zeitabschnitt? Die beiden Einzelangaben kann man nur dann sinnvoll miteinander verarbeiten, wenn sie sich auf die gleiche Tagesanzahl beziehen. Dies kann man erreichen, indem man zum Produkt der beiden Tagesanzahlen übergeht. Die Übernachtungskosten sind für ${}70$ Tage gleich ${}320\cdot 10=3200$ und die Verpflegungskosten sind für ${}70$ Tage gleich ${}258\cdot 7=1806$, die Gesamtkosten für ${}70$ Tage sind also ${}5006$ Euro.

Für eine entsprechende Interpretation der Multiplikation von rationalen Zahlen muss man die Hintereinanderschaltung von proportionalen Zusammenhängen wie in Bemerkung betrachten.