Rationale Zahlen/Approximation durch Dezimalbrüche/Division mit Rest/Bemerkung

Für eine rationale Zahl

${}x={\frac {m}{n}}\,$

und ein gegebenes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ kann man die approximierenden Dezimalbrüche, die es nach Fakt geben muss, folgendermaßen finden. Man berechnet ${}m\cdot 10^{k}$ und führt die Division mit Rest ${}m\cdot 10^{k}$ durch ${}n$ durch, wobei sich die Darstellung

${}m\cdot 10^{k}=an+r\,$

mit einem Rest ${}r$ zwischen ${}0$ und ${}n-1$ ergibt. Es ist dann

${}\left\lfloor {\frac {m\cdot 10^{k}}{n}}\right\rfloor =a\,$

und daher

${}{\frac {a}{10^{k}}}\leq {\frac {m}{n}}<{\frac {a+1}{10^{k}}}\,.$