Rationale Zahlen/Feste e-Umgebung/Limes inferior und Limes superior/Aufgabe/Lösung

Der Limes inferior besteht aus allen Zahlen, die bis auf endlich viele Ausnahmen in allen Mengen ${}A_{q}$ vorkommen. Dies ist die leere Menge, da es zu jeder reellen Zahl ${}x$ unendlich viele rationale Zahlen gibt, die außerhalb von ${}[x-2\epsilon ,x+2\epsilon ]$ gibt. Für diese rationalen Zahlen gilt ${}x\notin A_{q}$.

Der Limes superior besteht aus allen Zahlen, die in unendlich vielen der Mengen ${}A_{q}$ vorkommen. Dies ist ganz ${}\mathbb {R}$. Zu jeder reellen Zahl ${}x$ gibt es in ${}]x-\epsilon ,x+\epsilon [$ unendlich viele rationale Zahlen und für diese gilt

${}x\in A_{q}$.

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