Rationale Zahlen/Multiplikative Untergruppen/Überabzählbar/Aufgabe/Lösung

Zu einer jeden Teilmenge von Primzahlen betrachten wir

wobei in den Produkten stets bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Ein Produkt von zwei solchen Elementen ist wieder von der gleichen Form, und das inverse Element zu ist , also auch von der gleichen Form. Es handelt sich also für jedes um eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe. Für

sind die zugehörigen Untergruppen verschieden, da bei ,

auch aufgrund der eindeutigen Primfaktorzerlegung gilt. Da die Menge der Primzahlen unendlich ist, ist ihre Potenzmenge überabzählbar, und das überträgt sich auf die soeben konstruierten Untergruppen.