Seien
und
aus gegeben, die unter auf das gleiche Element abgebildet werden. Dann ist
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Durch beidseitige Multiplikation mit mit hinreichend groß kann man erreichen, dass alle Exponenten positiv sind. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und da Primzahlen sind, folgt, dass die Exponenten links und rechts übereinstimmen. Also ist
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und die Abbildung ist injektiv.
Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise nicht im Bild liegt. Wäre nämlich
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so könnte man die negativen Exponenten der rechten Seite nach links bringen und es würde sich ein Widerspruch zur eindeutigen Primfaktorzerlegung ergeben.