Rationaler Funktionenkörper/n/Grundkörper/Algebraisch abgeschlossen/Aufgabe/Lösung


Es sei algebraisch über , es ist zu zeigen. Unter Verwendung der Körperkette

genügt es, die Aussage für zu zeigen. Es sei also mit Polynomen und sei eine algebraische Relation

mit gegeben. Wegen der Faktorialität des Polynomringens können wir und als teilerfremd annehmen. Multiplikation der algebraischen Relation mit führt auf

bzw. auf

Also ist ein Teiler von und somit nach dem Lemma von Euklid von , was wegen der Teilerfremdheit bedeutet, dass zu gehört. D.h. ist ein Polynom. Wenn einen positiven Grad

hätte, so könnte aus Gradgründen keine algebraische Relation bestehen. Also ist ein konstantes Polynom und somit .