Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Mengen/Beispiel

Wir betrachten die Menge

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,.$

Es handelt sich also um diejenige Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{3}$, die alle Punkte mit den Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ enthält, die die Bedingung

${}5x-y+3z=0\,$

erfüllen. Da diese Bedingung für jeden Punkt ${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ eine klare Bedeutung besitzt, also wahr oder falsch sein kann, handelt es sich um eine wohldefinierte Teilmenge. Beispielsweise gehören die Punkte ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\-3\\-{\frac {13}{3}}\end{pmatrix}}$ dazu, der Punkt ${}{\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}}$ dagegen nicht. Wenn man für einen Punkt ${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ testen soll, ob er zu ${}E$ gehört, so überprüft man einfach die Bedingung. In dieser Hinsicht ist also die gegebene Beschreibung von ${}E$ sehr gut. Wenn man aber beispielsweise eine gute Übersicht über ${}E$ als Ganzes bekommen möchte, so ist die Beschreibung direkt nicht sehr aussagekräftig. Wir behaupten, dass ${}E$ mit der Menge

${}E'={\left\{r{\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}\mid r,s\in \mathbb {R} \right\}}\,$

übereinstimmt. In dieser zweiten Beschreibung wird die Menge als die Menge aller Elemente beschrieben, die auf eine gewisse Art gebaut werden können, nämlich als Linearkombination der beiden Punkte ${}{\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}$ mit beliebigen reellen Koeffizienten. Der Vorteil dieser Beschreibung ist, dass man sofort einen Überblick über alle Elemente hat und beispielsweise sieht, dass es unendlich viele Elemente darin gibt. Dagegen ist es bei dieser Beschreibung schwieriger zu entscheiden, ob ein gegebener Punkt dazu gehört oder nicht.

Zum Nachweise, dass die beiden Mengen übereinstimmen, müssen wir ${}E\subseteq E'$ und ${}E'\subseteq E$ zeigen. Es sei hierzu ${}P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in E$. Dann ist

${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {x}{3}}{\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}}+{\frac {y}{3}}{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}\,,$

wobei die Gleichheit in den ersten beiden Komponenten unmittelbar erfüllt ist und die Gleichheit in der dritten Komponenten eine Umformung der Ausgangsgleichung

${}5x-y+3z=0\,$

ist. Mit ${}r={\frac {x}{3}}$ und ${}s={\frac {y}{3}}$ sieht man, dass ${}P\in E'$ ist. Es sei umgekehrt ${}P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in E'$, d.h. es gibt eine Darstellung

${}P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=r{\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3r\\3s\\-5r+s\end{pmatrix}}\,$

mit gewissen reellen Zahlen ${}r,s\in \mathbb {R}$. Um zu zeigen, dass dieser Punkt zu ${}E$ gehört, müssen wir zeigen, dass er die ${}E$ definierende Bedingung erfüllt. Dies ist wegen

${}5x-y+3z=5(3r)-3s+3(-5r+s)=0\,$

der Fall.