Rechteck/Flächengleiches Quadrat/1/Aufgabe/Lösung

Überblick

Seit dem antiken Griechenland ist die Quadratur des Kreises eine klassische Aufgabe der Geometrie und die Quadratur des Rechtecks eine Teilberechnung dazu. Während bei der Quadratur des Rechtecks das Ergebnis nach endlich vielen Schritten fertig ist und abschließend dargestellt werden kann, werden bei der Quadratur des Kreises wegen der krummen Begrenzungskurve endlos (=unendlich) viele Schritte benötigt. Dieser Sachverhalt ist vom Prinzip her schon seit Antiphon dem Sophisten (ca. 430 v.u.Z.) bekannt. Er schlug vor, für die runde Kreisfläche eine Multisumme aus berechneten immer kleineren Dreiecken zu bilden, welch die Kreisfläche immer lückenloser ausfüllen. Ein konkret gezeichneter Rechengang dazu ist nicht überliefert, wie heute leicht im Internet nachgeprüft werden kann. Überliefert sind gezeichnete Rechengänge (elementare klassische Konstruktionen) zur Quadratur des Rechtecks (Höhensatz und Kathedensatz) aus dem aber das Richtigsein nicht direkt erkannt werden kann. Dies gelingt mit wenigen mehr gezeichneten Kreis und Gerade-Objekten, wie das nebenstehende Bild aus der web-Seite zeigt.

Kohärenz-Grundlage

Die Aufgabe wird ohne die Kenntnis und Zuhilfenahme von Zahlen gelöst, allein nach den Erfahrungen zum Erhalt-und Symmetrie-Grundsatz. Für die Erklärung der gezeichnet berechneten Flächengleichheit ist die Nutzung arithmetischen Grundlagen-Wissens von Vorteil. In einem Rechteck der Größe A=a⋅b=1 hat die Langseite a die Grösse a=2^+x und die Kurzseite b die Grösse b=2^−x. Gemäss des Erhalt-und Symmetrie-Grundsatzes muss für die Quadratur die Langseite schrumpfen und die Kurzseite wachsen, bis schliesslich beide gleich gross sind und dann immer noch für die Fläche A=a⋅b=2^(x=0)=1 gilt.

Cohaerentic-Methode: Gezeichnete Quadratur des Rechtecks

Vom gegebenen Rechteck (gelb) ausgehend wird mit dessen Langseite a ein Kohärenzsystem „grosses Quadrat“ mit einem Umkreis dazu gezeichnet. Im Schnittpunkt der eingezeichneten Quadratdiagonale mit der inneren Rechteck-Langseite wird eine senkrecht stehende Gerade gezeichnet, die aussen die Kreislinie schneidet. Um den rechten unteren Rechteckpunkt wird dann ein Kreis durch die äusseren Schnittpunkte auf dem Kreis gezeichnet. Dieser Kreis schneidet innen die Quadratdiagonale und markiert mit dem Schnittpunkt die gesuchte Quadratecke. Durch diesen Eckpunkt wird eine Parallele zu den Rechteck-Langseiten gezeichnet, Diese Parallele schneidet die Seiten des grossen Quadrates. Schliesslich wird eine Strecke vom rechten unteren Rechteckpunkt zum besagten Schnittpunkt auf der linken Quadratseite gezeichnet. Diese Strecke ist eine Symmetriegerade. Sie zeigt anschaulich logisch nachvollziehbar die gezeichnet berechnete Flächengleichheit. Die beiden an den inneren Quadratseiten anliegenden Rechtecke sind aus Gründen der Symmetrie gleich gross und damit ist die gesuchte Quadratfläche gleich gross zur gegebenen Rechteckfläche. Die zweite gezeichnete Berechnung macht mit der anderen Rechteckgröße die Allgemeingültigkeit des vorgezeigten Kohärenzsystems deutlich.