Rechtecke/Konstanter Flächeninhalt/Minimaler Umfang/Aufgabe/Lösung

Bei konstantem Flächeninhalt ${}c$ ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge ${}s\neq 0$ bestimmt, die andere Seitenlänge ist ${}{\frac {c}{s}}$ und der Umfang ist ${}2{\left(s+{\frac {c}{s}}\right)}$. Für das Quadrat ist

${}s={\frac {c}{s}}={\sqrt {c}}\,$

mit Umfang ${}4{\sqrt {c}}$. Es ist also

${}2{\sqrt {c}}\leq s+{\frac {c}{s}}\,$

zu zeigen. Dies ist äquivalent zu

${}4c\leq s^{2}+{\left({\frac {c}{s}}\right)}^{2}+2c\,$

und zu

${}0\leq s^{2}+{\left({\frac {c}{s}}\right)}^{2}-2c\,$

bzw. zu

${}s^{4}+c^{2}-2cs^{2}\geq 0\,,$

was wegen

${}s^{4}+c^{2}-2cs^{2}=(s^{2}-c)^{2}\geq 0\,$

erfüllt ist.

Zur gelösten Aufgabe