Rechtwinkliges Dreieck/Rationale Seiten/Flächeninhalt/2/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass es ein solches rechtwinkliges Dreieck gibt. Wir können die beteiligten rationalen Seitenlängen mit einem gemeinsamen Hauptnenner ${}h$ schreiben und setzen die Seitenlängen als ${}{\frac {a}{h}},{\frac {b}{h}},{\frac {c}{h}}$ an, mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Die Flächenbedingung bedeutet

${}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a}{h}}\cdot {\frac {b}{h}}=2\,$

bzw.

${}ab=4h^{2}\,.$

Wir lösen nach ${}b$ auf und erhalten

${}b={\frac {4h^{2}}{a}}\,$

und setzen dies in die pythagoreische Gleichung ein und erhalten

${}a^{2}+{\left({\frac {4h^{2}}{a}}\right)}^{2}=c^{2}\,$

bzw.

${}a^{4}+16h^{4}=a^{2}c^{2}\,.$

Dann wäre aber das Tripel ${}(a,2h,ac)$ eine nichttriviale Lösung der Gleichung

${}x^{4}+y^{4}=z^{2}\,,$

was es nach Fakt

nicht geben kann.

Zur gelösten Aufgabe