Reell-algebraisch/Rationaler Nenner/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}P=c_{n}X^{n}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\,$

mit ${}c_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$, ${}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$, ${}b_{i}>0$ und ${}c_{n}\neq 0$. Wir multiplizieren dieses Polynom mit ${}c_{n}^{-1}$ und können somit annehmen, dass ${}P$ normiert ist. Wir setzen

${}b=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\,.$

Aus

${}P(z)=z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}=0\,$

ergibt sich durch Multiplikation mit ${}b^{n}$ direkt

${}{\begin{aligned}0&=b^{n}{\left(z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}\right)}\\&=b^{n}z^{n}+b^{n}c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n}c_{2}z^{2}+b^{n}c_{1}z+b^{n}c_{0}\\&=b^{n}z^{n}+bc_{n-1}b^{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}b^{2}z^{2}+b^{n-1}c_{1}bz+b^{n}c_{0}\\&=(bz)^{n}+bc_{n-1}(bz)^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}(bz)^{2}+b^{n-1}c_{1}(bz)+b^{n}c_{0}.\end{aligned}}$

Dies bedeutet, dass ${}bz$ eine Nullstelle des Polynoms

${}Q=X^{n}+bc_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}X^{2}+b^{n-1}c_{1}X+b^{n}c_{0}\,$

ist. Dieses Polynom ist normiert und es besitzt wegen

${}b^{n-i}c_{i}={\left(b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\right)}^{n-i}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

ganzzahlige Koeffizienten. Somit ist

${}z={\frac {bz}{b}}\,$

mit ${}b\in \mathbb {N}$ und der Zähler ${}bz$ ist die Nullstelle eines normierten ganzzahligen Polynoms.

Zur gelösten Aufgabe