Reell konvergente Folgen/Limesabbildung/Aufgabe

Es sei ${}M$ die Menge aller reellen konvergenten Folgen und

$\Psi \colon M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\longmapsto {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)},$

die Abbildung, die einer konvergenten Folge ihren Grenzwert zuordnet. Warum ist dies eine (wohldefinierte) Abbildung? Ist ${}\Psi$ injektiv? Ist ${}\Psi$ surjektiv?

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