Reelle Ebene/Durchschnitt von Bällen/Radien/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}x=(a,b)\in U\cap V$. Dies bedeutet einerseits

${}a^{2}+b^{2}<1\,$

und andererseits

${}{\sqrt {(a-2)^{2}+b^{2}}}<2\,,$

also

${}a^{2}+b^{2}<4a\,.$

Sei

${}\epsilon :={\min {\left(1-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},2-{\sqrt {(a-2)^{2}+b^{2}}}\right)}}>0\,.$

Wir behaupten

${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\cap V\,,$

sei dazu ${}y\in U{\left(x,\epsilon \right)}$. Die erste Inklusion ergibt sich aus

${}d((0,0),y)\leq d((0,0),x)+d(x,y)<{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+\epsilon \leq 1\,$

und die zweite Inklusion ergibt sich aus

${}d((2,0),y)\leq d((2,0),x)+d(x,y)<{\sqrt {(a-2)^{2}+b^{2}}}+\epsilon \leq 2\,.$

Zur gelösten Aufgabe