Reelle Exponentialfunktion/Basis/Stetige Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen (1), die anderen Eigenschaften ergeben sich ähnlich, siehe Aufgabe. Es sei ${}x_{n}$ eine rationale Folge, die gegen ${}x$ konvergiert, und ${}y_{n}$ eine rationale Folge, die gegen ${}x'$ konvergiert. Dann ist nach Fakt  (1) die Folge ${}x_{n}+y_{n}$ eine rationale Folge, die gegen ${}x+x'$ konvergiert. Somit ist unter Verwendung der rationalen Funktionalgleichung und von Fakt  (2) und der Stetigkeit

${}{\begin{aligned}b^{x+x'}&=\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}+y_{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(b^{x_{n}}\cdot b^{y_{n}}\right)}\\&={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{y_{n}}\right)}\\&=b^{x}b^{x'}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage