Reelle Exponentialfunktion/Darstellung/Fortsetzung/Bemerkung

Die Exponentialfunktionen ${}x\mapsto a^{x}$ zur Basis ${}a>0$ kann man auch anders einführen. Für natürliche Zahlen ${}n\neq 0$ nimmt man das ${}n$-fache Produkt von ${}a$ mit sich selbst, also ${}a^{n}$, als Definition. Für eine negative ganze Zahl ${}x$ setzt man ${}a^{x}:=(a^{-x})^{-1}$. Für eine positive rationale Zahl ${}x=r/s$ setzt man

${}a^{x}:={\sqrt[{s}]{a^{r}}}\,,$

wobei man natürlich die Unabhängigkeit von der gewählten Bruchdarstellung beweisen muss. Für eine negative rationale Zahl arbeitet man wieder mit Inversen. Für eine beliebige reelle Zahl ${}x$ schließlich nimmt man eine Folge ${}q_{n}$ von rationalen Zahlen, die gegen ${}x$ konvergiert, und definiert

${}a^{x}:=\lim _{n\rightarrow \infty }a^{q_{n}}\,.$

Hierzu muss man zeigen, dass diese Limiten existieren und unabhängig von der gewählten rationalen Folge sind. Für den Übergang von ${}\mathbb {Q}$ nach ${}\mathbb {R}$ ist der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit entscheidend.