Reelle Exponentialfunktion/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beschränken uns auf den Fall ${}b>1$ und ${}x,x'>0$. Es sei ${}p_{n}$ eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen ${}x$ konvergiert, und es sei ${}q_{n}$ eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen ${}x'$ konvergiert. Dann konvergiert nach Fakt  (2) die Folge ${}p_{n}q_{n}$ gegen ${}xx'$. Somit konvergiert auch ${}b^{p_{n}q_{n}}$ gegen ${}b^{xx'}$. Wegen

${}b^{p_{n}q_{n}}={\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}\,$

für rationale Argumente ist also noch zu zeigen, dass ${}{\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}$ gegen ${}{\left(b^{x}\right)}^{x'}$ konvergiert. Sei dazu ein positives ${}\epsilon$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${}{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}$ gegen ${}{\left(b^{x}\right)}^{x'}$ gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {{\left(b^{x}\right)}^{x'}-{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

gilt. Wegen der Stetigkeit von ${}z\mapsto z^{q_{n}}$, die für jedes ${}q_{n}$ auf der Stetigkeit des Potenzierens und des Wurzelziehens beruht, und wegen der Konvergenz von ${}b^{p_{m}}$ gegen ${}b^{x}$, gibt es wegen der Folgenstetigkeit zu jedem ${}n$ ein ${}m_{0}$ derart, dass für alle ${}m\geq m_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}-{\left(b^{p_{m}}\right)}^{q_{n}}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

gilt. Insgesamt ist also für ${}n\geq {\max {\left(n_{0},m_{0}\right)}}$ (dabei gehöre ${}m_{0}$ zu ${}n_{0}$) wegen der Monotonie

${}{\left(b^{p_{m_{0}}}\right)}^{q_{n_{0}}}\leq {\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}\leq {\left(b^{x}\right)}^{x'}\,$

und somit

${}{\begin{aligned}\vert {{\left(b^{x}\right)}^{x'}-{\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}}\vert &\leq \vert {{\left(b^{x}\right)}^{x'}-{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}}\vert +\vert {{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}-{\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}}\vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage