Wir beschränken uns auf den Fall
und
.
Es sei
eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen
konvergiert, und es sei
eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen
konvergiert. Dann konvergiert nach
Fakt (2)
die Folge
gegen
. Somit konvergiert auch
gegen
. Wegen
-

für rationale Argumente ist also noch zu zeigen, dass
gegen
konvergiert. Sei dazu ein positives
vorgegeben. Wegen der Konvergenz von
gegen
gibt es ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
-

gilt. Wegen der Stetigkeit von
, die für jedes
auf der Stetigkeit des Potenzierens und des Wurzelziehens beruht, und wegen der Konvergenz von
gegen
, gibt es wegen der Folgenstetigkeit zu jedem
ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
-

gilt. Insgesamt ist also für
(dabei gehöre
zu
)
wegen der Monotonie
-

und somit
