Reelle Folge/Arithmetisches Mittel/Abhängigkeit von Startwert/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

(a) Die Eigenschaft ${}x_{n}>a$ folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung ${}x_{0}>a$ unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}>{\frac {a+a}{2}}=a\,.$

Das strenge Fallen ergibt sich daraus durch

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}<{\frac {x_{n}+x_{n}}{2}}=x_{n}\,.$

(b) Die Konstanz ergibt sich durch Induktion, wobei die Voraussetzung ${}x_{0}=a$ den Induktionsanfang sichert und der Induktionsschluss aus

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}={\frac {a+a}{2}}=a\,$

folgt.

(c) Die Eigenschaft ${}x_{n}<a$ folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung ${}x_{0}<a$ unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}<{\frac {a+a}{2}}=a\,.$

Das strenge Wachstum ergibt sich daraus durch

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}>{\frac {x_{n}+x_{n}}{2}}=x_{n}\,.$

(d) Nach (a), (b), (c) ist die Folge in jedem Fall monoton und beschränkt, daher konvergiert sie in ${}\mathbb {R}$.

(e) Der Grenzwert sei ${}x$. Es gilt

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n+1}\,.$

Wir wenden die Rechenregeln für Limiten auf die Rekursionsvorschrift an und erhalten

${}x=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n+1}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}+a}{2}}={\frac {x+a}{2}}\,.$

Daraus ergibt sich ${}x=a$.

Zur gelösten Aufgabe