Reelle Funktion/Ableitungseigenschaft/Positiv/Exponentialgleichung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion ${}g(x)=\ln f(x)$, die wohldefiniert ist, da ${}f$ nur positive Werte annimmt. Die Funktion ${}g$ ist differenzierbar mit

${}g'(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {\lambda f(x)}{f(x)}}=\lambda \,.$

Die Ableitung ist also konstant gleich ${}\lambda$, daher ist ${}g(x)=\lambda x+c$. Somit ist

${}f(x)=\exp \left(\ln f(x)\right)=\exp \left(\lambda x+c\right)=\exp \left(\lambda x\right)\exp c\,$

und wegen ${}f(0)=1$ ist ${}c=0$. Daher ist

${}f(x+y)=\exp \left({\lambda (x+y)}\right)=\exp \left({\lambda x+\lambda y}\right)=\exp \left({\lambda x}\right)\cdot \exp \left({\lambda y}\right)=f(x)\cdot f(y)\,.$

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