Reelle Funktion/Exponentielle Gleichung/Stetig/Exponentielle Funktion/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}f(u)\neq 0$. Dann ist wegen

${}f(u)=f(u+0)=f(u)f(0)\,$

direkt ${}f(0)=1$. Wegen

${}1=f(0)=f(1-1)=f(1)\cdot f(-1)\,$

ist

${}b:=f(1)\,$

von ${}0$ verschieden. Wegen

${}f(1)=f{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}=f{\left({\frac {1}{2}}\right)}f{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\left(f{\left({\frac {1}{2}}\right)}\right)}^{2}\,$

ist ${}b$ positiv. Wir vergleichen ${}f(x)$ mit ${}b^{x}$. Für ${}x=0,1$ stimmen die beiden Funktionen überein. Für ${}x=n\in \mathbb {N}$ ist aufgrund der Funktionalgleichung

${}f(n)=f(1)^{n}=b^{n}\,.$

Für ${}n\in \mathbb {Z} _{-}$ ist wegen ${}1=f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)$

${}f(n)=f(-n)^{-1}={\left(b^{-1}\right)}^{-n}=b^{n}\,,$

also gilt die Gleichheit für ${}n\in \mathbb {Z}$. Für ${}n=p/q\in \mathbb {Q} _{+}$ mit ${}p,q\in \mathbb {N} _{+}$ gilt wegen

${}f(p)=f{\left(q\cdot {\frac {p}{q}}\right)}={\left(f{\left({\frac {p}{q}}\right)}\right)}^{q}\,$

und der eindeutigen Existenz von ${}q$-ten Wurzeln

${}f{\left({\frac {p}{q}}\right)}={\sqrt[{q}]{f(p)}}={\sqrt[{q}]{b^{p}}}=b^{\frac {p}{q}}\,.$

Daraus folgt über die Beziehung

${}1=f(r-r)=f(r)\cdot f(-r)\,$

auch die Übereinstimmung für negative rationale Argumente. Da ${}f$ nach Voraussetzung stetig ist und da ${}b^{x}$ stetig ist, und da es zu jeder reellen Zahl ${}x$ eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen ${}x$ konvergiert, müssen die beiden Funktionen nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit übereinstimmen.

Zur gelösten Aufgabe