Es sei
. Dann ist wegen
-

direkt
.
Wegen
-

ist
-

von
verschieden. Wegen
-

ist
positiv. Wir vergleichen
mit
. Für
stimmen die beiden Funktionen überein. Für
ist aufgrund der Funktionalgleichung
-

Für
ist wegen
-

also gilt die Gleichheit für
. Für
mit
gilt wegen
-

und der eindeutigen Existenz von
-ten Wurzeln
-
![{\displaystyle {}f{\left({\frac {p}{q}}\right)}={\sqrt[{q}]{f(p)}}={\sqrt[{q}]{b^{p}}}=b^{\frac {p}{q}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9039cd407ded49a83526c014dd1589691c9d8a4c)
Daraus folgt über die Beziehung
-

auch die Übereinstimmung für negative rationale Argumente. Da

nach Voraussetzung stetig ist und da

stetig ist, und da es zu jeder reellen Zahl

eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen

konvergiert, müssen die beiden Funktionen nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit übereinstimmen.