Unter den Voraussetzungen wird die
Taylor-Formel
zu
-
mit
(abhängig von )
zwischen
und .
Je nachdem, ob
oder
ist, gilt auch
(wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der -ten Ableitung)
bzw.
für
für ein geeignetes
.
Für diese ist auch
,
sodass das Vorzeichen von vom Vorzeichen von abhängt.
Bei gerade ist ungerade und daher wechselt das Vorzeichen bei
(bei
ist das Vorzeichen negativ und bei
ist es positiv).
Da das Vorzeichen von sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von . Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.
Es sei nun ungerade. Dann ist gerade, sodass
für alle
in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei
,
dass
ist und in ein
isoliertes Minimum
vorliegt, und bei
,
dass
ist und in ein
isoliertes Maximum
vorliegt.