Reelle Funktion/Extremum/Zweite Ableitung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die erste Aussage. Wegen der zweifachen stetigen Differenzierbarkeit und

gibt es ein derart, dass die zweite Ableitung auf dem Intervall positiv ist. Nach Fakt ist dann auf diesem Intervall streng wachsend. Wir behaupten, dass in ein isoliertes lokales Minimum besitzt, und zwar dass

für alle , , gilt. Nehmen wir an, dass dies nicht stimmt, und sei ein Element mit

(das Argument bei verläuft genauso). Dann gibt es mit dem Mittelwertsatz ein mit

und mit

Doch dies widerspricht wegen der strengen Monotonie der Ableitung.