Reelle Funktion/Extremum/Zweite Ableitung/Fakt/Beweis
Beweis
Wir beweisen die erste Aussage, die zweite kann man darauf zurückführen, indem man das Negative der Funktion betrachtet. Wegen der zweifachen stetigen Differenzierbarkeit und
gibt es ein derart, dass die zweite Ableitung auf dem Intervall positiv ist. Nach Fakt ist dann auf diesem Intervall streng wachsend. Wir behaupten, dass in ein isoliertes lokales Minimum besitzt, und zwar dass
![{\displaystyle {}[a-\epsilon ,a+\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e9374dd286c7f2d9ad62a5b27595c1e7861251)
für alle , , gilt. Nehmen wir an, dass dies nicht stimmt, und sei ein Element mit
![{\displaystyle {}x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bdf2810505bed7306c98415edaad3e4acf1aa5)
(das Argument bei verläuft genauso). Dann gibt es mit dem Mittelwertsatz ein mit
und mit
Doch dies widerspricht wegen der strengen Monotonie der Ableitung.
