Wir beweisen die erste Aussage. Wegen der zweifachen stetigen Differenzierbarkeit und
-
gibt es ein
derart, dass die zweite Ableitung auf dem Intervall ![{\displaystyle {}[a-\epsilon ,a+\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e9374dd286c7f2d9ad62a5b27595c1e7861251)
positiv ist. Nach
Fakt
ist dann 
auf diesem Intervall
streng wachsend.
Wir behaupten, dass 
in 
ein isoliertes lokales Minimum besitzt, und zwar dass
-
für alle
![{\displaystyle {}x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bdf2810505bed7306c98415edaad3e4acf1aa5)
,
,
gilt. Nehmen wir an, dass dies nicht stimmt, und sei
ein Element mit
-
(das Argument bei
verläuft genauso).
Dann gibt es mit
dem Mittelwertsatz
ein 
mit
-
und mit
-
Doch dies widerspricht wegen
der strengen Monotonie der Ableitung.