Es sei zunächst
und
vorgegeben. Dann kann man
setzen, denn aus
folgt wegen
oder
auch
.
Es sei nun
Wir zeigen, dass man für
kein
mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu
vorgegeben und sei
.
Wenn rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl
,
wenn irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl
Im ersten Fall gilt
-
im zweiten Fall gilt
-
sodass in beiden Fällen die
-Umgebung von
nicht in die
-Umgebung von
abgebildet wird.