Reelle Funktion/Quadratwurzel aus x^3-x/Extrema/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1)\,.$

Für ${}x\in ]-1,0[$ sind die beiden linken Faktoren negativ ${}$ und der rechte ist positiv, daher ist ${}x^{3}-x$ auf ${}]-1,0[$ positiv mit Nullstellen an den beiden Rändern. Dies überträgt sich auf ${}f(x)$. Insbesondere nimmt ${}f$ an den beiden Randpunkten ${}-1$ und ${}0$ isolierte und globale Minima mit dem Wert ${}0$ an.

Zur Bestimmung von weiteren Extrema ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

${}f'(x)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3x^{2}-1}{\sqrt {x^{3}-x}}}\,.$

Die Nullstellenbedingung wird zu

${}x^{2}={\frac {1}{3}}\,,$

wobei nur

${}x=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$

im Intervall liegt. In diesem Punkt wird das globale Maximum angenommen.

Zur gelösten Aufgabe