Reelle Funktion/Stetig/Quadrat/7/Beispiel

Wir zeigen, dass das Quadrieren

an der Stelle stetig ist. Es sei ein vorgegeben, das wir als annehmen dürfen. Wir müssen ein finden, das die Eigenschaft besitzt: Wenn

dann ist auch

also wenn und -nahe beieinander sind, so sind die beiden Funktionswerte -nahe beieinander. Wenn man zu eine Zahl hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich

und die Differenz zu ist somit . Insbesondere muss diese Differenz kleinergleich dem vorgegebenen werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden und beide kleinergleich sind. Dies legt die Wahl

nahe. Es gelten dann in der Tat für

die Abschätzungen