Reelle Partialbruchzerlegung/Integration/Andeutung/Bemerkung

Eine wichtige Anwendung der reellen Partialbruchzerlegung ist es, zu rationalen Funktionen ${}P/Q$, ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$, ${}Q\neq 0$, eine Stammfunktion zu finden, also zu integrieren. Man berechnet hierzu die Partialbruchzerlegung von ${}P/Q$ und muss dann zu dem Polynom ${}H$ und den Summanden der Form ${}{\frac {b}{(X-a)^{r}}}$ bzw. ${}{\frac {c+dX}{Q_{i}^{r}}}$ mit einem quadratischen nullstellenfreien Polynom ${}Q_{i}$ Stammfunktionen bestimmen. Dafür gibt es dann Standardverfahren. Eine Stammfunktion zu ${}{\frac {b}{(X-a)}}$ ist ${}b\ln \vert {X-a}\vert$ und eine Stammfunktion zu ${}{\frac {b}{(X-a)}}$, ${}r\geq 2$, ist ${}{\frac {b}{(1-r)(X-a)^{r-1}}}$. Wenn ein quadratischer Nenner vorliegt, wird es schwieriger; eine Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{1+x^{2}}}$ ist beispielsweise ${}\arctan X$.