Reelle Reihe/Summe 1 durch k(k+1)/Beispiel

Wir wollen die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}$

berechnen, wozu wir zuerst eine Formel für die ${}n$-te Partialsumme angeben. Es ist

${}s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{n}{\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)}=1-{\frac {1}{n+1}}={\frac {n}{n+1}}\,.$

Diese Folge konvergiert gegen ${}1$, sodass die Reihe konvergiert und ihre Summe gleich ${}1$ ist.